Le mathématicien italien Eugenio Calabi est décédé le 25 septembre 2023 à l’âge de 100 ans à Beaumont, Bryn Mawr (USA). Cette année, de nombreux hommages ont été rendus à travers le monde pour célébrer son héritage imposant et ses contributions importantes à la géométrie. Il est inhabituel que soit célébré le centenaire d’un mathématicien important, avec plus de 70 ans d’héritage scientifique et trois générations de descendants. sous l’œil vigilant du même -c’est arrivé comme ça à l’une des conférencestenu à Hefei (Chine)–.
Né à Milan, en Italie, en mai 1923, Calabi a déménagé très jeune aux États-Unis avec sa famille. Il a étudié au Massachusetts Institute of Technology, financé par une prestigieuse bourse Putnam, qui a également été reçue par d’autres comme Richard P. Feynman, prix Nobel de physique, et John Milnor, médaille Fields. En 1950, il lut sa thèse à la université de Princeton sur les propriétés de certains espaces géométriques appelés variétés de Kähler. Après avoir travaillé comme professeur à l’Université du Minnesota, Calabi rejoint en 1964 l’Université de Pennsylvanie. Quelques années plus tard, il obtient le prestigieux professeur de mathématiques Thomas A. Scott, qu’il occupe jusqu’à sa retraite en 1994, date à laquelle il devient professeur émérite dans la même institution.
Son travail a profondément marqué la géométrie moderne. Son obsession était de donner à l’espace nu une forme « préférée », comme quelqu’un qui moule un morceau d’argile avec ses mains à la recherche d’une figure cachée, jamais imaginée auparavant. Par exemple, lorsque l’on place une corde nouée à ses extrémités sur une surface plane, quelle est la forme préférée qu’elle peut prendre ? La réponse de beaucoup sera une circonférence, parce qu’elle est « la même partout » ou, peut-être, parce que c’est « la figure la plus parfaite ». Un mathématicien pourrait ajouter que cette perception est liée à une propriété variationnelle de ladite courbe : c’est celle qui maximise l’aire totale qu’elle contient à l’intérieur.
Une méthode mathématique pour trouver ces courbes préférées dans le plan – appelée flux de courbure moyenne – est la suivante : on part de n’importe quelle courbe (qui ne se coupe pas) et on la fait « évoluer » de telle manière qu’elle perd de l’aire à constante. la vitesse et son périmètre diminue le plus rapidement possible. Au fil du temps, la courbe sera convexeet tendra vers un cercle de rayon de plus en plus petit jusqu’à s’effondrer à un moment donné. Quelques instants avant cet effondrement, la forme privilégiée de la courbe est observée à l’œil nu à très petite échelle.
Si la courbe initiale venait à se couper, elle pourrait développer une singularité ou un « pic » au cours de son évolution et cela modifierait la forme préférée de la courbe. En se plaçant à la place de la singularité juste avant qu’elle ne se forme, on observe, par un changement d’échelle, l’évolution « auto-similaire » d’une courbe issue d’un passé infini : une courbe qui ne change pas de forme tandis que ça évolue avec le temps. Dans ce cas, en outre, la courbe se déplace par translation, c’est-à-dire que tous ses points se déplacent à une vitesse constante dans une direction fixe. Eugénio Calabi découvert cette solution pour signifier un écoulement par courbure dans les années 1980 et l’a baptisée La Parca (la Faucheuse).
Il semble que Calabi a fait cette découverte lors d’une pause thé, en pleine conversation, entouré de ses collègues. La Grande Faucheuse s’avère être la seule solution définie à partir d’un temps passé infini du flux de courbure moyenne qui évolue par traductions : une propriété essentielle qui ne serait que compris plusieurs années plus tard. Esta es posiblemente una de las características más singulares de Calabi: su influencia en el trabajo de sus colegas se producía muchas veces a través de largas conversaciones informales oc, con observaciones agudas y ejemplos clave, que más tarde se convertirían en piezas fundamentales de futuras teorías matematiques. Selon les mots d’Edoardo Vesentini (chercheur à l’École Normale Supérieure de Pise) : « dans les théories les plus intimidantes et dans les théorèmes qui me tourmentaient le plus, arrivaient les explications simples de Calabi ».
Dans son cas, ces explications semblaient relever d’une intuition ou d’un goût esthétique. Comme Calabi lui-même l’a expliqué dans un visite en Espagne en septembre 2000 : « La principale source de l’intuition géométrique est, en fin de compte, liée à nos perceptions sensorielles du monde. Bien entendu, à mesure que nous abordons des domaines plus abstraits, il faut interpréter ce que signifie l’expérience sensorielle. J’ai essayé de rendre cela aussi visible que possible pour transmettre cette idée.
Le plaisir de la découverte pure et la beauté de la géométrie étaient en effet deux moteurs des mathématiques de Calabi. Cependant, ses travaux se sont avérés avoir des implications importantes dans d’autres domaines appliqués, comme la physique théorique. Alors et comme Calabi lui-même l’a décrit, les mathématiciens « inventent des mondes imaginaires, et les scientifiques décident bien plus tard si ceux-ci peuvent abriter de véritables théories scientifiques ». L’un de ces mondes imaginés par Calabi est né de l’étude de la forme préférée d’une classe importante d’espaces géométriques appelés variétés complexes. Ces objets sont rigidifiés en leur apportant une notion de distance (appelée métrique de Kähler). La forme préférée de cet espace est donnée en choisissant, parmi toutes les métriques possibles, celle qui rend la courbe de l’espace plus homogène. Un cas particulier de ce problème est connu sous le nom de Le problème de Calabi. Pendant plus de 20 ans, de grands mathématiciens ont tenté d’y répondre, arrivant à des solutions contradictoires. Finalement, en 1978, Shing-Tung Yau l’a résolu, donnant naissance aux espaces communément appelés variétés Calabi-Yau. Pour cette réalisation importante, la communauté mathématique internationale a distingué le mathématicien chinois avec le Médaille Fields en 1982. À ce jour, le problème général initialement posé par Calabi reste ouvert et a eu un grand impact sur le développement de la géométrie complexe au XXe et au début du XXIe siècle. Une grande partie de l’activité se concentre depuis des années dans l’étude des géométries dites de Kähler-Einstein, dont les variétés de Calabi-Yau sont un cas particulier.
Le critère de Calabi pour trouver la forme préférée de l’espace s’est avéré, des années plus tard, avoir une relation profonde avec les équations de champ de la relativité générale introduit par Albert Einstein. Dans ces équations, la répartition de la matière et de l’énergie dans l’espace détermine sa courbure. En l’absence de matière, ou lorsqu’on en établit une répartition homogène, l’espace adopte la forme privilégiée imaginée par Eugenio Calabi. Étonnamment, loin d’être une simple analogie, les espaces de Calabi-Yau, avec leurs belles formes géométriques, jouent un rôle clé dans certaines théories physiques modernes qui abordent le problème de la gravité quantique, comme la célèbre théorie des supercordes.
